Σε μια λεκάνη ανακατέψτε το γάλα,το νερό, την μαγιά, την ζάχαρη και λίγο αλεύρι να γίνει χυλός πηκτός. Αφήστε το σκεπασμένο για 10΄ να αφρίσει για να βεβαιωθείτε ότι η μαγιά είναι ενεργή. Προσθέστε το αυγό, το αλάτι και όσο αλεύρι χρειαστεί να γίνει μια εύπλαστη ζύμη που να κολλάει ελαφρώς στα τοιχώματα της λεκάνης. Προς το τέλος βάλτε το βούτυρο, σκεπάστε και αφήστε την ζύμη να φουσκώσει για 1 ώρα σε ζεστό μέρος.
Στη συνέχεια ετοιμάστε την γέμιση ανακατεύοντας όλα τα υλικά μαζί. Διατηρήστε την στο ψυγείο ως την ώρα που θα την χρησιμοποιήσετε.
Χωρίστε την ζύμη σε ίσα κομμάτια και πατήστε τα με τον πλάστη σε αλευρωμένη επιφάνεια να γίνουν οβάλ, όχι πολύ λεπτά. Διπλώστε από τις δυο πλευρές να πάρει το σχήμα του πυθμένα της βάρκας και κολλήστε με λίγο νερό τις άκρες.Αφήστε να σταθούν 15΄ σκεπασμένα.Προσθέστε 2-3 κ.σ από την γέμιση σε κάθε πεϊνιρλί , αλείψτε τις άκρες με λίγο βούτυρο και ψήστε σε προθερμασμένο φούρνο στους 200^οC για 25-30΄. Σερβίρετέ το ζεστό.